시뮬레이션 구현하기 ① 확률

생각 열기 — 우리 반에 생일이 같은 친구가 있을까

컴퓨터가 우연을 흉내 내는 법 — 난수

난수(random number) — 미리 짐작할 수 없게 고르게 흩어져 나오는 수. 컴퓨터는 정해진 계산으로 난수처럼 보이는 수를 만든다는 짐작할 수 없게 나오는 수다. 파이썬에서는 random 모듈이 만들어 준다.

몬테카를로 시뮬레이션

몬테카를로 방법(Monte Carlo method) — 난수로 같은 실험을 아주 많이 되풀이해 확률이나 값을 어림하는 방법. 이름은 모나코의 도박장 거리에서 따왔다은 난수로 같은 실험을 아주 많이 되풀이해 답을 어림하는 방법이다. 이름은 모나코의 도박장으로 유명한 곳 이름에서 따왔다. 공식을 몰라도, 너무 복잡해 공식으로 풀 수 없어도, «실험을 많이 하면» 답에 다가갈 수 있다.

점을 던져 원주율 구하기

한 변이 1인 정사각형에 점을 아무렇게나 던진다. 왼쪽 아래 꼭짓점을 중심으로 한 반지름 1인 사분원의 넓이는 π/4, 정사각형의 넓이는 1이다. 그러니 사분원 안에 든 점의 비율 × 4 ≈ π 다.

같은 실험을 파이썬으로 하면 이렇다.

import random

random.seed(4)
for n in [100, 1000, 10000, 100000]:
    안 = 0
    for _ in range(n):
        x, y = random.random(), random.random()
        if x * x + y * y <= 1:
            안 += 1
    print(n, 4 * 안 / n)

100 2.84
1000 3.152
10000 3.1368
100000 3.14204

100개만 던지면 2.84 로 꽤 틀리지만, 10만 개를 던지면 3.142 로 소수 셋째 자리까지 맞는다. 다만 10,000개일 때(3.1368)가 1,000개일 때(3.152)보다 오히려 조금 더 멀다 — 난수라서 늘 차근차근 다가가는 것은 아니고, 크게 보면 다가간다. 많이 되풀이할수록 어림값이 참값에 가까워지는 성질을 대수의 법칙(law of large numbers) — 같은 시행을 많이 되풀이할수록 결과의 비율이 실제 확률에 가까워진다는 성질이라 한다.

생일 문제

이제 생각 열기의 물음으로 돌아가자. 365일 가운데 아무 날이나 생일로 뽑아 반을 만들고, 생일이 같은 사람이 있는지 본다. 이것을 5,000번 되풀이해 «있었던 비율»을 센다.

import random

random.seed(7)

def 같은생일있나(사람):
    생일 = [random.randint(1, 365) for _ in range(사람)]
    return len(set(생일)) < 사람   # 겹치면 집합이 작아진다

for 사람 in [10, 23, 30, 40]:
    횟수 = 5000
    있음 = sum(같은생일있나(사람) for _ in range(횟수))
    print(f'{사람}명: {있음 / 횟수:.3f}')

10명: 0.110
23명: 0.510
30명: 0.703
40명: 0.884

23명만 모여도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 절반쯤이다. 많은 사람이 짐작보다 훨씬 크다고 놀란다. 공식으로도 풀 수 있지만(23명이면 약 0.507), 공식을 몰라도 실험을 되풀이해 거의 같은 답을 얻었다. 이것이 몬테카를로 시뮬레이션의 힘이다.

그래프로 보기 — 주사위 두 개

주사위 두 개를 10,000번 던져 눈의 합이 몇이 몇 번 나오는지 히스토그램으로 그린다(Ⅲ단원의 맷플롯립).

Python주사위 두 개 눈의 합▶ 실행고치기코드 복사

import random
import matplotlib.pyplot as plt

random.seed(1)
합들 = [random.randint(1, 6) + random.randint(1, 6) for _ in range(10000)]

plt.figure(figsize=(6, 3.5))
plt.hist(합들, bins=range(2, 14), align='left', rwidth=0.8)
plt.title('주사위 두 개 눈의 합 — 10,000번')
plt.xlabel('눈의 합')
plt.ylabel('나온 횟수')
plt.xticks(range(2, 13))
plt.show()
print('7이 나온 비율:', 합들.count(7) / 10000)

확인된 실행 결과

7이 나온 비율: 0.1675

7이 가장 많이 나온다. 7을 만드는 방법이 (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 여섯 가지로 가장 많기 때문이다. 이론으로는 6/36 ≈ 0.167 이다.

확인 문제